专题12：同构携手放缩（含答案解析）docx

  专题12：同构携手放缩 专题阐述：同构法是将不同的代数式（或不等式、方程）通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题． 当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求非常高的． 考法一：部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上） [规律方法] 在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式： （1）当且时，有 （2）当且时，有 再结合指数与对数运算法则 能够获得下述结论（其中）（“ex”三兄弟与“”三姐妹） （3）， （4）， （6）， 再结合常用的切线不等式：，，，等 能够获得更多的结论 （7），． ，． （8）， ， （9）， ， 例1．已知，则函数的最大值为______． 解析： （当且仅当取等号）． 例2．已知函数，其中，若恒成立，则实数a与b的大小关系是______． 解析： 由于 当且仅当等号成立，所以． 例3．已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数a的取值范围； （2）若恒成立，求实数a的取值范围． 解析：（1）定义域是， ①当时，，在定义域上单调递增，不可能有两个零点 ②当时，由，得 当时，，在定义域上单调递增 当时，，在定义域上单调递减 所以当时，取得极大值． 当时，，当时， 因为有两个零点，所以 解得． （2）要使恒成立，只要恒成立 只要恒成立，令，则 当且仅当时取等号，所以恒成立，实数a的取值范围为． 【点睛】本题难点在第2问，由所求不等式出发，经参变分离将问题转化为恒成立，引入函数，通过结论的放缩，巧妙地得出的最小值，进而求出参数a的取值范围. 【针对训练】 1. 函数的最小值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】先利用导数证明在R上恒成立，再构造函数，结合放缩法即可求出函数的最小值. 【详解】令， 则， 令，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即在R上恒成立， 所以， 故 当且仅当取等号. 故答案为：1. 2. 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】恒成立问题，可以用参变分离求最值的方法，结合放缩即可得答案. 【详解】 由于，，两者都是当且仅当x＝1等号成立，则 所以． 故答案为：． 3. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】通过同构简化函数形式，然后再转化成两个函数，画图确定参数范围. 【详解】，令，，显然该函数单调递增，即有两个根，即有两个根，如下图，作出函数的图像及其过原点的切线，可知当时有两个交点即有两个根． 故答案为：.  考法二：整体同构携手脱衣法 [规律方法] 在能成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快处理问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若能等价变形为，然后利用的单调性，如递增，再转化为，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法． 1．地位同等同构（主要是针对双变量，合二为一泰山移） （1）为增函数 （2）为减函数 含有地位同等的两个变量，或p，q等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小） 2．指对跨阶同构（主要是针对单变量，左同右同取对数） （1）积型： 如 后面的转化同（1） 说明：在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知， （2）商型： （3）和差： 如． 3．无中生有同构（主要是针对非上型，凑好形式关键） （1） 后面的转化同2（1） （2） （3）． 后面的转化同2（1） 例4．已知，在区间内任取两实数p，q，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______． 解析：①当时， 即 令，则 ∴在递减，即 ∴在上恒成立 ∴在上恒成立 ∴在上恒成立 ∴． ②当时，同理可得出，综上所述 例5．对任意，不等式恒成立，则实数a最小值为______． 解析： （积型同构） 令，则， 易知在上递减，在上递增 所以，所以在上单调递增 则， 由导数法易证，所以． 例6．已知函数． （1）判断在上的单调性； （2）若，证明：． 解析：（1） 令， ∴在上单调递减，∴，即 ∴在上单调递减． （2）要证，即证： 即证：，即证： 令，即证： 由（1），在上单调递减，即证： 令， ∴在上单调递增，∴ ∴，即． 【点睛】本题利用分析法将所证不等式转化为，通过同构变形，构造函数，借助（1）问中在上单调递减，将命题转证为，简化所证命题. 【针对训练】 4. 已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，即，构造函数，由其在上为增函数，，则，再构造函数，利用导数求出其最大值即可 【详解】因为，对恒成立， 所以，， 所以， 所以， 所以， 令，则 因为在上为增函数， 所以， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值，即， 所以，所以， 所以a的取值范围是 故答案为： 5. 已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，令，则问题等价于，即，再由，即可得到，即可得到参数的取值范围； 【详解】解：，  ， 令，显然为增函数， 则原命题等价于 ， 又令，则， 所以时，当时，即在上单调递增，在上单调递减， 所以，即恒成立， 所以， 所以，即得． 故选：B 6. 已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用同构变形得到，构造函数，， 结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值. 【详解】因为， 所以， 即， 构造函数， 所以 ， 令，解得：，令，解得：， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时 因为当时，单调递减， 故， 两边取对数得： ， 令，则， 令得：，令得：， 所以在单调递增，在单调递减， 所以 故a的最小值是． 当时，，从四个选项均为负，考虑，此时有， 两边取对数得：， 所以 令，则， 当时，恒成立，所以在上单调递增，无最大值， 此时无解， 综上：故a的最小值是． 故选：C 【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解. 【强化训练】 7. 函数的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】先证明出成立，对原函数进行同构构造后直接求解. 【详解】记. 因为.令，解得：；令，解得：； 所以在上单减，在上单增，所以. 所以，即. 所以，当且仅当时等号成立． 记. 因为在上单增，在上单增，所以在上单增. 又，， 所以有且只有一个实根. 而存在唯一一个使得. 即存在唯一一个使得. 所以函数的最小值为1. 故答案为：1 8. 已知函数fx=aex?ln 【答案】 【解析】 【分析】恒成立问题，可以用参变分离求最值的方法，结合放缩即可得答案. 【详解】 由于， 两者都是当且仅当x＝1等号成立 则 所以． 故答案为：． 9. 已知a，b分别满足，，则ab＝______． 【答案】 【解析】 【分析】同构化处理，构造函数并利用函数的单调性确定答案． 【详解】 ，且，令，，该函数在单调递增，可得，即，则． 故答案为：. 10. 已知是函数的零点，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据零点定义可得，整理可得，根据此时可得成立，代入化简即可得解. 【详解】根据题意可得， 整理可得， 可得当，即成立， 又， 代入可得. 故答案为：. 11. 已知函数，若对任意正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，进而原题等价于在单调递增，从而转化为，在上恒成立，参变分离即可求出结果. 【详解】由得， 令，∴ ∴在单调递增， 又∵ ∴，在上恒成立，即 令，则 ∴在单调递减，又因为， ∴． 故答案为：. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 12. 设实数，若对于任意，不等式恒成立，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】∵对于任意，不等式恒成立 ∴对于任意， 设，，则 令，可得 ∵ ∴由指数函数和反比例函数在第一象限的图象可得和有且只有一个交点，设为 当时，，单调递增；当时，，单调递减 ∴在处取得极小值，且为最小值，即 令，可得，则当时，不等式恒成立 ∴的最小值为 故答案为 点睛：本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值，着重考查了函数的构造思想、等价转化思想与导数在函数中的综合应用，本题的解答中把恒成立问题转化为求解函数的最值是解答的关键. 13. 已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先不等式变形为，，不等式等价于，然后利用函数的单调性可得对任意恒成立，再利用参变分离恒成立，转化为求函数的最小值. 【详解】不等式变形为 ， 即，设， 则不等式对任意的实数恒成立， 等价于对任意恒成立， ，则在上单调递增， ，即对任意恒成立， 恒成立，即， 令 ，则 ， 当时，，在上单调递减， 当时， ，在上单调递增， 时，取得最小值 ， ，即， 的最小值是. 故选：D 【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形，并能构造函数并转化为对任意恒成立. 14. 已知函数，当时，恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析，易得恒成立，再分析， 将问题转化为，恒成立，再构造函数， 即，恒成立，可利用的单调性， 转化为则恒成立，再转化为得恒成立， 再构造函数，利用导数得到，则. 【详解】当，时，显然恒成立； 当 时，由题，则恒成立， 得，恒成立， 令，则恒成立， 则，故在递增， 则恒成立，得恒成立， 令，则，即在递增， 故，故， 综合得. 故选：B. 【点睛】本题考查了分析观察能力，利用导数研究函数的性质，反复构造函数利用函数的单调性转化恒成立问题是处理问题的关键.

  苏教版（2019）必修第二册过关斩将期中学业水平检测（含答案解析）.docx

  甘肃省天水市秦州区第一中学2020-2021学年高三下学期数学（理）开学考试试题（含答案解析）.docx

  苏教版（2019）必修第二册必杀技专练1新定义、新情境专练（含答案解析）.docx

  江苏省南通市通州区金沙中学2021-2022学年高一下学期4月线上学习质量检验数学试题（含答案解析）.docx

  山东省潍坊市五县市2022届高三上学期第一次联考数学试题（含答案解析）.docx

  黑龙江省大庆中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题（含答案解析）.docx

  山西省霍州市第一中学2021届高三上学期12月质量检验文科数学试题（含答案解析）.docx

  《GB/T 6150.8-2023钨精矿化学分析方法第8部分：钼含量的测定硫氰酸盐分光光度法》.pdf

  中国国家标准 GB/T 6150.8-2023钨精矿化学分析方法第8部分：钼含量的测定硫氰酸盐分光光度法.pdf

  中国国家标准 GB/T 6150.4-2023钨精矿化学分析方法第4部分：硫含量的测定高频感应红外吸收法和燃烧-碘量法.pdf

  GB/T 6150.4-2023钨精矿化学分析方法第4部分：硫含量的测定高频感应红外吸收法和燃烧-碘量法.pdf

  《GB/T 6150.4-2023钨精矿化学分析方法第4部分：硫含量的测定高频感应红外吸收法和燃烧-碘量法》.pdf

  《GB/T 6150.6-2023钨精矿化学分析方法第6部分：湿存水含量的测定 重量法》.pdf

  GB/T 6150.6-2023钨精矿化学分析方法第6部分：湿存水含量的测定 重量法.pdf

  中国国家标准 GB/T 6150.6-2023钨精矿化学分析方法第6部分：湿存水含量的测定 重量法.pdf

  原创力文档创建于2008年，本站为文档C2C交易模式，即用户上传的文档直接分享给其他用户（可下载、阅读），本站只是中间服务平台，本站所有文档下载所得的收益归上传人所有。原创力文档是网络服务平台方，若您的权利被侵害，请发链接和相关诉求至 电线) ，上传者