最著名的金融公式——布莱克-斯科尔斯公式

  布莱克-斯科尔斯模型是一种模仿金融衍生东西商场动态的数学模型。自1973年提出并于70年代和80年代加以完善以来，该模型已成为预算股票期权价格的规范。该模型背面的要害思维是，经过以正确的办法生意根底财物(如股票)来对冲出资组合中的期权，然后消除危险。这种办法后来在金融界被称为“不断修订的三角洲对冲”，并被世界上许多最重要的出资银行和对冲基金选用。

  布莱克-斯科尔斯模型是一种模仿金融商场动态的数学模型，其间包含了期权、期货、远期合约和交换合约等衍生金融东西。该模型的要害性质在于，它表明晰一个期权，不管其标的证券的危险和预期收益怎么，其价格都是仅有的。该模型树立在偏微分方程的根底上，即所谓的布莱克-斯科尔斯方程，从中能够推导出布莱克-斯科尔斯公式，该从理论上对欧洲股票期权的正确价格进行了估量。

  开始的布莱克-斯科尔斯模型依据一个中心假定，即商场由至少一种危险财物(如股票)和一种(本质上)无危险财物(如货币商场基金、现金或政府债券)组成。此外，它假定了两种财物的三种特点，以及商场自身的四种特点：

  对商场财物的假定为：1：无危险财物的收益率是稳定的(因而实践上表现为利率)；2：依据几许布朗运动，假定危险财物价格的瞬时对数收益表现为具有稳定漂移和动摇的无穷小随机游动；3：危险财物不付出股息。

  对商场自身的假定是：1：不存在套利(无危险赢利)时机；2：能够以与无危险财物利率相同的利率借入和借出任何数量的现金；3：能够生意任何数量的股票(包含卖空)；4：商场上没有买卖成本(即没有生意证券或衍生东西的佣钱)。

  在对原有模型的后续扩展中，对这些假定进行了批改，以习惯无危险财物的动态利率、生意买卖成本和危险财物的股息开销。在本文中，假定咱们运用的是原始模型，除非还有阐明。

  布莱克-斯科尔斯方程是依据布莱克-斯科尔斯模型的动力学原理，在金融商场中分配欧洲股票期权价格演化的偏微分方程(PDE)。方程是：

  其间V是期权的价格（作为两个变量的函数：股票价格S和时刻t），r是无危险利率（以为利率类似于从货币商场基金取得的利率） ，而σ是根底证券的对数收益率的动摇性。假如咱们把方程改写成下面的方式

  然后左边表明期权V的价格随时刻t的添加而改变+期权价值相关于股票价格的凸度。右边是由V/S组成的期权多头和空头的无危险报答。

  布莱克-斯科尔斯公式是布莱克-斯科尔斯偏微分方程的一个解，给出了下面的鸿沟条件(方程. 4和5)，它核算了欧洲看跌期权和看涨期权的价格。也便是说，它核算的是在未来预订日期以预订价格购买或出售某些根底财物的权力的合同价格。在到期日(T)，欧式看涨期权(C)和看跌期权(P)的价值分别为：

  布莱克和斯科尔斯证明，关于欧式看涨期权，在eq. 4和5给出的鸿沟条件下，布莱克-斯科尔斯方程(上面的eq. 1)解析解的泛函方式为：

  公式中触及的要素为S =证券价格，T =到期日，t =当时日期，X =行使价，r =无危险利率和σ=动摇率（根底财物的规范差）。函数N（·）代表正态（高斯）散布的累积散布函数，能够以为是“随机变量小于或等于正态散布的输入（即d 1和d 2）的概率”。作为概率，值N（·）的总和将一直在0≤N（·）≤1之间。输入d1和d2由下式给出：

  关于欧洲看跌期权(在未来预订日期以预先确定的价格出售某些根底财物的权力而非责任的合约)，其等价的功用方式为：

  为了核算欧式看涨期权的价格应该是多少，咱们知道咱们需求上述方程6所要求的5个值。它们是：1.股票的当时价格，2.看涨期权的履行价格(X)， 3.截止时刻(T - t)， 4.无危险利率(r)和5.股票的动摇,由前史日志回来的规范偏差(σ)。

  估量特斯拉看涨期权的价值，咱们需求的前四个值很简略取得。假定咱们对特斯拉股票($TSLA)的看涨期权感兴趣，该股票将于2019年第三季度收益到期，其价格将比当时股价高出20%。检查2019年7月13日在yahoo财经上特斯拉的纳斯达克上市($TSLA)，咱们发现其股价为S = $245。将当时价格乘以1.2得到的履行价格比当时买卖的股票高出20%，X = 294美元。谷歌一下，咱们发现其第三季度财报电线天。作为无危险利率东西的主体，咱们将运用美国10年期政府债券，现在的收益率为2.12%。咱们得到S = 245 X = 294 T - t = 101， r = 0.0212。仅有短少的值是对股票动摇率（σ）的估量。

  咱们能够经过调查股票的前史价格来估量任何股票的动摇率，或许，更简略地，经过核算相同股票在不同期限/到期日(T)和履行/履行价格(X)的其他期权价格来估量（假如咱们知道它们是依据布莱克-斯科尔斯模型设置的）。成果值σ是介于0和1之间的数字，表明商场对股票的隐含动摇率。

  虽然了解期权发行者是怎么取得看涨期权和看跌期权的价格是一件风趣的工作，但作为出资者，很难“不同意”这些价格自身，并且很难将这些常识转化为可操作的出资理论。

  可是，假如咱们将期权的价格视为已知的独立变量，则能够从布莱克-斯科尔斯公式中得到许多优点。这是由于，布莱克-斯科尔斯方程将成为一种东西，能够协助咱们了解商场怎么估量股票的动摇率，也称为期权的隐含动摇率。这是咱们能够不同定见并进行买卖的信息。

  由于美国期权能够在到期日之前的任何日期履行，因而比处理欧洲期官僚困难得多。首要，由于最优履行战略会影响期权的价值，因而在求解布莱克-斯科尔斯偏微分方程时需求考虑这一点。依据布莱克-斯科尔斯方程，美国期权没有已知的“关闭方式”解。不过，也有一些特殊情况：

  关于不付出股息的根底财物的美国看涨期权，美国看涨期权的价格与欧洲看涨期权相同。这是由于在这种情况下，最优的行使战略是不行使期权。

  关于在其生命周期内的确付出一项已知股息的根底财物的美国看涨期权，尽早行使该期权可能是最优挑选。在这种情况下，依据所谓的Roll- geske - whaley办法：

  S =股票价格，X =行使价格，D=付出的股息，t =当时日期，t=付出股息的日期，T =期权的到期日。

  C（·）对错股息付出欧洲股票期权（eq x）的惯例布莱克-斯科尔斯公式，则美国看涨期权的价值由相同方程式给出，其间股票价格（ S）为：

  假如满意了不等式，那么前期的操作便是最优的，美国看涨期权的价值是由下面这个糟糕而又紊乱的方程给出的(我试着把它按每一项分隔，以使其更具可读性)：

  S =股票价格，T =期权到期日，X =行使价格，r =无危险利率，σ=动摇率（股票前史收益的对数的规范偏差），D =是股息开销。别的，ρ由下式给出：

  毋庸置疑，考虑到上述假定以及咱们自己对无危险利率（r）的数值估量的固有局限性，布莱克-斯科尔斯模型正好是一种企图估量商场行为的理论模型。这儿应该着重的是，并不是一切的假定（尤其是原始模型）实践上都是凭经历有用的。例如，显着的约束来自于：

  在任何和一切的出资战略中，都应该考虑到这些要素，例如，分别用套现期权进行对冲、在多个买卖所进行买卖、用动摇率对冲和对冲进行对冲。

  1973年，费希尔布莱克和迈伦斯科尔斯指出，依据某些规矩对出资组合进行动态批改，能够消除根底证券的预期报答。他们的模型是树立在巴切利耶、萨缪尔森等人之前树立的作品之上的。罗伯特·默顿是第一个宣布对模型了解的论文的人，他发明了术语“布莱克-斯科尔斯期权定价模型”。斯科尔斯和默顿因发现了将股票期权与相关证券的危险别离的办法而取得1997年诺贝尔经济学奖。1995年，费希尔·布莱克逝世，他没有资历取得诺贝尔奖，但被诺贝尔委员会确以为一名贡献者。