导数中利用切线放缩进行找点的基本策略

  一.利用切线放缩进行导数找点的基本公式在导数问题中，我们有两个常见的切线放缩，即利用这两个不等式及其变形，基本上能处理绝大多数问题，但为方便起见,我们大家可以舍掉部分元素进一步放缩，如lnxvx,也可通过或专丄&0）。放缩的方式有千万种，我们选取一个合适的就够了，以下放ea缩均基于liix之上。做一些简单的代换，其中&均为正数，（l）ln/x“dlnxv此式的作用是将lnx变大，当XT乜时使用;bi-aIn时，将lnx缩小,当时，将，缩小，当X0此公式能实现当XTYC通过简单的代换，我们得到一些有用的放缩，并得到其主要使用范圉（想一想,为什么），其中&可根据题目取值，其中儿个常用到的放缩：放大，hi,所以In除此之外，如果我们也可以限定变量工的范围，就能将其中的某些项放缩成具体的常数，比如当xSO时，有0VQS1,再者，当所给的函数表达式很复杂我们也可以将其分成多个部分，分别做处理。找点不好找，本质上是不等式不好解，但由于这样的点有无穷多个，我只需找到其中部分，所以我们适当的退一步，放缩一下，将不好解的不等式转化为好解的不等式。但要注意的是，找点其实就是对函数阶的考量，所以放缩不能改变函数整的相对变化趋势(极限)，具体该如何放缩，还得取决于函数表达式的结构。下面先看几个具体的例子。二.几个简单例子-ax9是不是真的存在x0,使得/(x)0-axx-ax的大小关系不确定，无法解x(l-r/)0,与题意不相符合)。思路：当时，/亠乜，因此可将/变小，让较小的数据大于0就够了。利—x(x-46/)0,所以满足f(4a)4a-4/题意。注释：利用不等式进行放缩时，要保证函数的极限不能改变，如xm：时，/(x)=z-f/x=+oc,当-6/X=+oc,极限没改变。-ax—x-ax0,所以3/3a,所以27令…,可得:宀护，所以他)=-ax27检验：/(3注释：只要保证放缩后x的指数比1大，都可以放缩成功。-ax-b,是不是真的存在x0,使得/(x)0-bx-c,是不是真的存在,使得/(x)0o分析：当x=+oo时，/(%)=-KX),所以能找到合乎条件的X。利用，进行放缩时，要保证当天二20时/亠乜，因为所以於〉得到的三次不等式同样不还解，这时候我们大家可以再放缩调整一下，反正“点”很多，主要口的还是为了不等式好解。-ax-b再继续放缩,/J7丐Z],何%,即有/(x)0,虽说取的点的形式难看可取上面三道题，函数的解析式逐渐复杂，除了利用^-放缩外，还要学习利-\b\b,能处理当判别式情况不确定时调整系数，避免讨论的方法。,是不是真的存在x0,使/(x)0。分析：直接解/(x),因为x0,lnx+xlna,不易得到题是我们不需要解集，我们只需要找到合乎条件的点就够了，这样问题就简单了，因为当x0x-a0,所以所以4a~-6/5：已知d0,/(x)=xK+a,是不是真的存在xv-l,使分析：当时，加=右=0一，所以,所以从图像上分析是能找到合乎条件的点。当2Y)时，3-0,所以宀--9(xvO),当aJT放大。要找/(A)0,可将/(0变小，使较小的值大于0即可，若用V—丄，a,此时，当X=Y)时，极限还是一没有发生改变。mh#-—,-36：已知a09f(x)=xe+a9是不是真的存在一lvxvO,使得/(x)0解：此题中的X并不是趋向于无穷大，而是一个具体范围，当-\x03J注释：具体范围可以具体放缩。-ax-\,是不是真的存在x\,使得/(x)0分析：当时，可通过^X进行放缩，MZ-ax-l(X-1)X-6Z.V-1所以心+4x—4,所以M当xvl,是不是真的存在xl,使得/(x)0.分析：当X=Y时，故从理论上讲是能够找到合乎条件的八因为汨xvO时，C，所以x0(x-l”x+a=e(x-l”za(x-l)S0,所以\nx-ax+b9是不是真的存在x0,使得分析：YX=(T时，/(X)=YO,当%=4-00时，/(X)=YO,因为Yx0时，lnx~—‘、]/=+QO时’g(x)=-oo限没改变，但放缩的方向不对，要使/(x)0,应保证较大的数大于0。10满足*2-7%-+越，即有/(x)0o、2bcr所以/(x)=lnx-ax/?50,由2yfx-axJl+(ib4+4db0,yjx注释：放缩之后，当兀亠0十时，极限变了，但当/=齐时，极限没变。10：已知a09b09时，/(%)=-KC,要想不改变当x二3时的极限，将lnx变大后次数要介于(0,1)之间，所以lnx2^,