导数专题 切割线放缩(回答版)docx_朗博系列_江南官网游戏app/江南电竞官方

导数专题 切割线放缩(回答版)docx

2024-03-07 06:16:08 朗博系列

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  1、切割线放缩常识与办法函数的凸性与切割线,关于函数,若在其图象就任取两点,除端点外,线段一直在函数的图象的上方,在的图象就任取点,函数在点处的切线除切点外,一直在图象的下方,咱们称为下凸函数,满意的函数为下凸函数.关于下凸函数,可使用切割线,关于函数,若在其图象就任取两点,除端点外,线段一直在函数的图象的下方,在的图象就任取点,函数在点处的切线除切点外,一直在图象的上方,咱们称为上凸函数,满意的函数为上凸函数.关于上凸函数,可使用切割线进行放缩,其时,.典型例题1.()已知函数.(1)设是的极值点,求并评论的单调性;(2)其时,证明

  2、:.【解析】(1)由题意,由所以的极值点,所以,故,所以,其时,所以;其时,所以,故在上单调递减,在上单调递加.(2)解法1:其时,下面证明,令,则,所以在上单调递加,又,所以在上有仅有的零点,且其时,其时,所以在上单调递减,在上单调递加,故,由于,所以,两头取对数可得:,代入得:,所以,即,而其时,所以.解法2:其时,下面证明,先证,令,则,其时,其时,所以在上单调递减,在上单调递加,然后,所以,然后,当且仅其时等号建立,再证,令,则,所以其时,其时,故在上单调递加,在上单调递减,所以,故,即,当且仅其时等号建立,综上所述,有,且两个不等号不能同时取等号,故,即,又其时,所以.2.(2021

  3、新高考I卷22)已知函数.(1)评论的单调性;(2)设为两个不相等的正数,且,证明:.【解析】(1)由题意,所以,故在上单调递加,在上单调递减.(2),即,设,则,无妨设,则只需证,下面先证,只需证,结合在上单调递减且和均大于1知只需证,又,故只需证,即证,设,则,所以在上单调递加,所以,即,故建立,再证.其时,设,则,考虑曲线在处的切线,所以该点处的切线方程为,下面先证在上恒建立,只需证,即证,也即,设,则,所以在上单调递减,结合知恒建立,即在上恒建立,也即在上恒建立,所以,故,然后,结合(1)(2)知,所以,故建立.【反思】本题有经典的图形布景,先剖析图形,才可以找到使用切割线.()已知函数,其间.(1)评论的单调性;(2)设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为,求证:关于恣意的正实数,都有;(3)若关于的方程有两个正实根,求证:.【解析】(1),当为奇数时,或,所以在上单调递减,在上单调递加,在上单调递减,当为偶数时,所以在单调递加,单调递减.(2)其时,令得:,所以曲线与轴正半轴的交点为,而,所以曲线在点处的切线方程为,然后,令,则,所以,故在上单调递加,在上单调递减,然后,所以.(3)思路:依据第2小问的证明成果,曲线与轴交点处的切线一直在函数图象的上方,作出图象如图1所示:由于和无法从方程解出,故本题的不等式直接证明无从下手,不过从图1中可以

  5、看到,设与点处的切线交点横坐标为,明显,由所以直线与直线的交点,很简单解出,若可以证明,那么问题就处理了.但测验之后会发现纷歧定可以建立,所以只用点处的切线进行放缩,就放缩过度了,已然有点处的切线一直在图象的上方,那么从图上还可以猜想原点处的切线,所以咱们把原点处的切线也运用起来,有,若可以证明,就能处理问题.下面给出严厉的证明进程.证明:由(1)知,其时,在上单调递加,在上单调递减,且,故若方程有两个正实根,无妨设,则,明显其时,即,然后,又,所以,故,由(2)可得在上,恒建立,所以,又,所以,故,然后,接下来给出两种办法证明.证法1:要证,只需证,即证,也即,令,

  6、则,所以在上单调递减,结合知恒建立,故,所以,故.证法2:要证,只需证,即证,由于,所以,故建立,所以.【反思】本题的设问层层递进,浅入深出.第1问评论函数的单调区间,第2问的设问起到了承上启下的效果,引发考生考虑函数图象上的切线问的证明恰当作出提示,第3问凭借函数图象上的切线进行放缩,到达证明不等式的意图,放缩得有理有据.在求解导数大题的时分,假如找不到思路,无妨从图形上去寻觅解题的线.()已知函数,关于的方程有2个正实数根.(1)求实数的取值规模;(2)证明:.【解析】(1)由题意,所以其时,其时,然后在上单调递加,在上单调递减,又,所以要使有2个正实数根,只需.(2)一方面,其时,所以,然后,故,另一方面,设,则,所以,然后在上单调递加,在上单调递减,故,所以,故,然后,所以.2.()已知函数.(1)求的单调区间;(2)若,且,证明:【解析】(1)由题意,所以,然后的减区间是,增区间是.(2)注意到其时,其时,由于且,结合在上单调递减,在上单调递加可得,设,则,所以,然后,又,所以,故,设,则,所以,然后在上单调递减,在上单调递加,又,所以,故,所以,又,所以,故,将两式相加可得,设,则,所以在上单调递减,又,所以,然后,所以,又,所以,故,又,所以,综上所述,.

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