【命题核心】高考数学导数题 之 放缩不等式

  前一段回答了《高考数学导数题是怎么命制的？》，赞同喜欢收藏，超过3K，反响太太太热烈了！！！

  前文提出导数问题命题三部曲。其中第一步、确定一个放缩不等式，能够最终靠切线放缩、多项式函数放缩（泰勒公式），能够最终靠各种代换，能够最终靠反函数运算等得到，还能够最终靠设定函数类型利用待定系数法确定”，众多读者私信询问详细过程，以下做详细展开．

  对于指数函数y=e^{x}在x=0处，我们有切线，容易证明e^{x}≥x＋1，取等条件x=0．类似的，对于对数函数y=lnx在x=1处，我们有切线，容易证明lnx≤x－1，取等条件x=1．我们大家都知道，曲线y=f(x)在其上一点

  (x_{0},f(x_{0}))附近，可以用该点处的切线来近似代替，这就是切线放缩，体现了微积分中的重要思想方法——“以直代曲”．两组函数图象如下：>

  那么，既然有直线放缩（切线放缩），能否有曲线放缩？曲线放缩能否更加“逼近”目标函数？怎样得到放缩曲线（放缩函数）？由此得到的放缩函数对应的放缩不等式的不等号方向如何确定？

  指数函数与对数函数都是超越函数，为便于研究，我们大家都希望用代数函数（特别是有理函数，特别特别是多项式函数）来近似表达．

  ＋1来近似表达（逼近）f(x)=e^{x}．显然，在x=0处，g(x)及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数f(x)及其导数的相应值．很自然地想到，由于用多项式来表示的函数，只需要对自变量进行有限次加减乘运算，便能求出它的函数值，因此，我们考虑用多项式函数来近似表达指对函数．比一次函数稍复杂一点，当然是二次多项式（二次函数）．由于二次函数y=a

  ＋c有三个参数，我们不仅仅能要求二次函数在x_{0}点的函数值和导数值分别与被近似函数的对应值相等，还可以再加上一个条件：在x_{0}点的二阶导数对应相等，也就是瞬时变化率的瞬时变化率对应相等．这样，这个近似表达的函数，就比一次函数更接近（逼近）被近似函数．于是，我们大家可以通过三个条件，列出方程组，解出这三个系数，这就是用“待定系数法”确定指定类型的放缩函数．说明：在高中数学教材中，不提二阶导概念，但在实际解题中，经常用到二阶导．如果用到二阶导，处理办法（写法）是将一阶导函数另外设为一个新函数，然后求这个数的导数．以下为节省篇幅，直接写成二阶导．

  与放缩函数g(x)=1+x+\frac{1}{2}x^{2}的大小关系是交替的．换句话说，放缩不等式在x=0的两侧的不等号是相反的．这与本文前面几个放缩不等式不同．说明：事实上，这里能够最终靠F(x)在

  =0处的三阶导大于零，得到切点(0,F(0))同时是一个由凸转凹的拐点，从而快速判断上述不等式在x=0两侧的不等号方向．下文类同（可以发现，后文的不等式都是在切点两侧不等号相反）．本知识点（拐点及其判定）超出高考要求，有兴趣的同学可以拓展研究一下．2．在x=1点附近用g

  x)=ax^{2}＋bx＋c逼近f(x)=lnx：>

  说明：实际上，上述二次函数逼近，就是二阶泰勒公式．这里就不做展开了．

  ≥1+x，显然二次函数放缩更加逼近被近似函数．本文最后列出完整的“不等式链”，读者可以体会放缩误差的大小．四、反函数变换

  互为反函数，若当x≥0时，e^{x}≥f(x)，且f(x)是单值的，则当x≥1时，lnx≤f^{-1}(x)，反之亦然．也有的时候，不等号在x=0的两侧（对于lnx来说是x=1的两侧）是一致的，即若∀x∈R，e^{x}≥f(x)，且f(x)是单值的，则当x0时，lnx≤f^{-1}(x)，反之亦然．我们能够最终靠研究指数函数与对数函数之一，从而获得“对称”的另一个结论．事实上，前述“一、切线放缩”中，由e^{x}≥x＋1，且y=

  ＋1是单值的，两边同时取反函数，能够获得：lnx≤x－1．这里，y=x＋1与y=x－1互为反函数．>

  >

  上述，反函数变换的思想，在后续还会不断用到．

  )=lnx．当a,b同号时，g(x)是对勾函数（双勾函数）；当a,b异号时，g(x)是飘带函数（双撇函数）．>

  >

  到此为止，我们将《高考数学导数题是怎么命制的？》中“指对函数常见的15个放缩不等式”进行了全面推导，成就巨大！！！

  同时，对于导数压轴客观题，特别是比较大小中的估值问题，常见的放缩不等式则是处理问题的利器．